Auÿerdem ist [1;2] und [4;5] eilmeTngen der kompakten Menge [1;5], so dass auch Xeine eilmengeT von [1;5] ist. Damit ist \( [1,2] \cap A \) kompakt. “(=” Sei X nE abgeschlossen und x 2E beliebig. Zum Beispiel fur p 1 die sogenannte lp-Metrik: dp(x;y) := p qX jx i y ijp F ur p= 1 k onnen Sie die Dreiecksungleichung selbst beweisen, f ur p>1 ist das etwas komplizierter. Wir kommen zur dritten Aussage: ist S eine Menge offener Mengen, und x0 in der Vereinigung all dieser Mengen. Beweis. Beweise für Supremum und Infimum finden: Überlege dir auf einem Schmierblatt den Beweis dafür, dass die gefundene Zahl ein Supremum oder ein Infimum ist. Analog schaue, ob die Menge nach unten beschränkt ist oder nicht, und überlege dir gegebenenfalls, welche Zahl das Infimum sein könnte. Damit ist Ur(x) E und somit x 2E ein innerer Punkt von E. 4.1. Da jede Folge in einer endlichen Menge diese Bedingung erfüllt sind alle endlichen Mengen (speziell die leere Menge) kompakt. Abgeschlossen sind sie, weil jede Folge in einer dieser Mengen wenigstens einen Wert unendlich oft treffen muss. Das heißt, es existiert eine Umgebung Ur(x) mit Ur(x) T (X nE) = ;. Bei der ersten Aussage gibt es nichts zu zeigen. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt. Beweis Alle endlichen Mengen, auch ;sind natürlicherweise beschränkt. Fur den Rn gibt es nicht nur die im letzten Beispiel angegebene Metrik, sondern viele mehr. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt. Dann ist x 62X nE und somit kein Häufungspunkt dieser Menge. Die zweite Aussage folgt. Dann ist die Menge \( [1,2] \cap A \) eine abgeschlossene Menge (als Schnitt zweier abgeschlossener Mengen) und eine Teilmenge der kompakten Menge \( [1,2] \). \( K \) ist beschränkt und abgeschlossen und die Grundmenge ist ein … Eine Menge E X ist genau dann offen, wenn ihr Komplement X nE abgeschlossen in X ist. 1.1 Beweis 1 Die Menge Xist als endliche ereinigungV der abgeschlossenen Mengen [1;2] und [4;5] wieder abgeschlossen. 1.2 Beweis 2 Sei S i2I O ieine o ene Überdeckung von X= [1;2][[4;5]. Beispiel 4 (lp-Metrik). (2.2) Satz Jede kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. 7. Beweis. Versuchen Sie einen einfacheren Beweis zu nden. Da damit Xeine abgeschlossene eilmengeT einer kompakten Mengen ist, ist Xkompakt. GRUNDLEGENDE KONSTRUKTIONEN 83 aus dem ¨ublichen logischen Trick, da es in ∅ kein x0 gibt, ist jede Aussage uber ¨ ein solches x0 wahr. Die Menge heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist.

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